МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Листок 17. Принцип Дирихле

0.

В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов: антоновка, наташенька и машенька. В каждом ящике лежат яблоки одного сорта.

a)

Продавец утверждает, что у него нет девяти ящиков наташеньки. Могло ли так случиться?

b)

Продавец утверждает, что у него нет девяти ящиков с яблоками одного сорта. Не ошибся ли он?

1.

a)

В школе учатся 400 учеников. Доказажите, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же день.

b)

Какого наименьшего числа учеников достаточно, чтобы в школе наверняка нашлись двое, которые празднуют день рождения в один и тот же день года?

2.

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему a) 16 лет b) 17 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

3.

В лесу растёт 10 001 дерево. Докажите, что либо в этом лесу больше 100 сортов деревьев, либо деревьев одного из сортов больше 100 штук.

4.

Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?

5.

Занятия математического кружка проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же школы.

a)

Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории окажется не меньше трех таких школьников.

b)

Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких школьника?

c)

В одной аудитории оказались ровно 10 учеников из этой школы. Верно ли, что в какой-то другой аудитории их окажется не менее двух?

6.

a)

Докажите, что в любой компании есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

b)

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

7.

В Москве проживает более 10 000 000 людей. На голове у каждого человека не может быть более 300 000 волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове.