МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Листок 16. Задачи с числами

1.

Доказать, что один рубль невозможно разменять на 25 монет по 3 и 5 копеек.

2.

Есть 6 полок шириной 1 метр. Можно ли на них расставить 150 книг, из которых

a)

51 толщиной 6 см, остальные – по 3 см,

b)

50 — по 6 см, остальные — по 3 см,

c)

49 — по 6 см, остальные — по 3 см.

3.

Можно ли в клетках таблицы 5 × 6 (5 сток, 6 столбцов) расставить числа от 1 до 30 так, чтобы суммы чисел во всех a) строках b) столбцах были равны?

4.

Можно ли числа от 1 до 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых одно число равно сумме остальных?

5.

Доказать,что 5 рублей не размениваются на 20 монет по 5, 20 и 50 копеек.

6.

Доказать, что любую сумму, большую 7 копеек, можно выдать монетами по 3 и 5 копеек.

7.

Существуют ли три натуральных числа с попарными суммами a) 6, 7, 8; b) 7, 8, 9?

8.

Можно ли числа от 1 до 32 разбить на группы с одинаковыми произведениями?

9.

В таблице A × B расставлены числа, в любом столбце и в любой строчке сумма равна 1. Доказать, что A = B.

10.

Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из набора чисел от 1 до 28 так, что сумма любых двух выбранных кратна 8?

11.

Можно ли заполнить числами таблицу размером a) 5×5; b) 6×6 так, чтобы произведение всех чисел любой строки было отрицательно, а произведение всех чисел любого столбца — положительно?

12.

Есть 120 блоков по 7 т и 80 блоков по 9 т. Какое минимальное количество 40-тонных грузовиков необходимо, чтобы их увезти?