МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Грузовик едет со скоростью 60 км/ч. Его догоняет автобус, едущий со скоростью 80 км/ч. Через какое время они встретятся, если первоначально расстояние между ними 100 км?
 

В треугольнике ABC биссектрисы, проведённые из вершин B и C, пересекаются в точке I. Найти величину угла BIC, если величина угла A равна 24°.
 

Докажите, что из любых а) семи; б) пяти натуральных чисел можно выбрать три числа, сумма которых делится на три.
 

На доске написали 24 раза число –1. Каждым ходом стирали какие-то два числа и записывали вместо них одно число: 1, если стёртые числа были одного знака, и –1, если стёртые числа были разных знаков. После нескольких таких ходов на доске осталось одно число. Может ли это быть –1?
 

Коля и Вася за январь получили по 20 оценок, причём Коля получил пятёрок столько же, сколько Вася четвёрок, четвёрок столько же, сколько Вася троек, троек столько же, сколько Вася двоек, а двоек столько же, сколько Вася пятёрок. При этом средний балл за январь у них одинаковый. Сколько двоек за январь получил Коля?
 

Число n разрешено заменить на число ab, если a + b = n и числа a и b натуральные. (Например, число 10 можно заменить на 1 · 9 = 9, ибо 1 + 9 = 10, а можно на 5 · 5 = 25, ибо 5 + 5 = 10.) Можно ли с помощью таких замен получить из числа 24 число 2003?
 

Даны четыре одинаковых с виду шарика, среди которых могут быть волшебные. Детектор позволяет определить, сколько из помещённых в него шариков волшебные. Можно ли узнать, какие шарики волшебные, а какие нет, всего за а) четыре; б)* три измерения?

Дополнительные задачи

Трое ребят решали задачи из задачника и решили вместе 100 задач, при этом каждый решил ровно 60 задач. Назовём задачу, которую решили все трое, лёгкой, а задачу, которую решил только один из ребят,— трудной. Каких задач было больше, лёгких или трудных? На сколько?
 

На плоскости проведено n прямых. Каждая прямая пересекается ровно с семью из остальных прямых. Найдите n. (Укажите все возможности и докажите, что других нет.)