МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

На листе бумаги отмечены 50 точек. Через каждые две точки провели прямую. Какое а) наименьшее; б) наибольшее число разных прямых могло получиться?
 

Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 463, а номер последней записывается теми же цифрами, но в каком-то другом порядке. Сколько страниц в этом куске?
 

Вася рвёт газету на 8 частей, одну из полученных — ещё на 8 частей, и так далее. Сможет ли он разорвать газету на 2002 части?
 

В левом нижнем углу доски 9×9 стоит фишка. Два игрока по очереди выбирают направление вправо или вверх и передвигают фишку в этом направлении на любое число клеток. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков (начинающий или его противник) может всегда побеждать, и как ему надо играть?
 

Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на любое число правильных треугольников (не обязательно одинаковых), начиная с шести.
 

Петя и Вася живут в одном доме и выходят в школу одновременно. Каждый Петин шаг на 10% длиннее Васиного, но Петя делает в минуту на 10% меньше шагов, чем Вася. Кто из них раньше придёт в школу?
 

а) Два зеркала образуют угол величиной 30°. В этот угол параллельно одной из его сторон влетает луч и отражается от сторон по закону «угол падения равен углу отражения». Докажите, что рано или поздно луч вылетит из угла. Сколько раз он отразится от стенок?

А если величина угла между зеркалами равна б) 20°; в) 50°?
 

Число 57 можно представить в виде суммы 32 + 16 + 8 + 1. Докажите, что каждое натуральное число можно записать в виде суммы нескольких разных степеней двойки (Cтепени двойки — это числа 1, 2, 4, 8, 16,...)

Дополнительные задачи

В таблицу записали числа от 1 до 16:

Перед каждым из них поставили знак «+» или «–» так, что в каждой строке и в каждом столбце оказалось по два плюса и по два минуса. Докажите, что сумма полученных чисел равна 0.
 

На листе бумаги отмечены 50 точек. Всегда ли можно провести прямую, по разные стороны от которой лежит по 25 отмеченных точек?
 

Существуют ли 10 разных чисел, произведение любых двух из которых делится на сумму всех десяти чисел?