МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Аня, Боря, Вася и Галя собирали грибы. Аня собрала грибов больше всех, а Галя — не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?
 

Можно ли треугольник разрезать на два остроугольных треугольника?
 

Число n натуральное. Может ли число n(n+1) быть квадратом целого числа?
 

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 см друг от друга, окрашенные а) в один и тот же цвет; б) в разные цвета.
 

Можно ли в таблице размером а) 6×6; б) 5×5 расставить числа так, чтобы сумма четырёхх чисел в каждом квадрате 2×2 была отрицательной, а сумма всех чисел таблицы — положительной?
 

Найдите все такие натуральные числа m и n, что m² = 57 + n².
 

Передние покрышки автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние — через 15000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно? Сколько всего при этом проедет автомобиль? (Покрышки стираются равномерно.)
 

В ряд стоят 30 сапог: 15 левых и 15 правых. Докажите, что среди некоторых десяти подряд стоящих сапог левых и правых поровну.

Дополнительные задачи

а) На столе лежат 5 одинаковых бумажных треугольников. Каждый разрешено сдвигать в любом направлении, не поворачивая. Всегда ли любой из этих треугольников можно накрыть четырьмя оставшимися?

б) Та же задача, но треугольники одинаковые и равносторонние.

в) Всегда ли в условиях пункта б) можно накрыть любой из треугольников тремя другими (из оставшихся)?
 

Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что сумма больше 4.
 

Окружность окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся три одноцветные точки, образующие равнобедренный треугольник.