МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Человек дал торговцу купюру в 20 долларов и попросил продать шляпу за 10 долларов. У торговца не оказалось мелких денег, и он разменял эту купюру у другого троговца. Человек взял шляпу и 10 долларов сдачи. Когда он ушёл, второй торговец обнаружил, что 20-долларовая купюра фальшивая, и потребовал у первого торговца настоящую. Тот заплатил. Какой убыток понёс первый торговец?
 

Нарисуйте на координатной плоскости множество точек (x,y), для которых x² ≥ y².
 

Могут ли а) биссектрисы; б) высоты; в) медианы двух углов треугольника пересекаться под прямым углом?
 

Найдите все натуральные числа x, y, z, для которых выполнено равенство

К берегу пришвартован корабль «Мехмат», а затем — корабль «Малый». Может ли «Мехмат» отплыть раньше, чем «Малый»?

Точка О находится внутри квадрата АВСD, причём величины углы ОСВ и ОВС равны 15°. Докажите, что треугольник AOD равносторонний.
 

В таблице 10×10 клетки окрашены в 9 цветов. Если в некоторой строке или в некотором столбце находятся две клетки одного цвета, то можно перекрасить этот столбец или эту строку в этот цвет. Из любого ли исходного положения можно всю таблицу перекрасить в один цвет?

Дополнительные задачи

а) Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдётся равносторонний треугольник с вершинами одного цвета.

б) Обязательно ли найдётся такой треугольник со стороной 1 см?
 

На доске размером 15×15 клеток расставили 15 ладей, не бьющих друг друга. Затем каждую ладью передвинули ходом коня. Докажите, что теперь какие-то две ладьи бьют друг друга.