МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Поезд длиной 18 метров проезжает мимо фонаря за 9 секунд. За какое время он проедет мост длиной 36 метров?
 

По углам квадратного поля стоят 4 столба. Можно ли расширить его, не убирая столбов, чтобы площадь увеличилась в 2 раза, а форма осталась квадратной?
 

В классе учатся 25 учеников. а) Докажите, что найдутся 2 ученика, родившиеся в одном и том же месяце.

б) Обязательно ли найдутся 3 таких ученика?
 

Найдите остаток от деления а) 3¹⁰⁰ на 5; б) 5¹⁰⁰ на 3.
 

Из чисел 1, 2, ... , 49, 50 выбрали 26 чисел. Обязательно ли среди них найдутся два числа, различающиеся на 1?
 

Найдите площади фигур на рисунке, если площадь каждой клетки равна 1.

а) Сколько можно написать разных 10-значных чисел, используя только цифры 1 и 2?

б) На дереве растут 10 разных яблок. Сколькими способами можно выбрать несколько из них?
 

Докажите, что среди учеников любого класса найдутся двое, имеющие одинаковое число знакомых в этом классе (если, конечно, в этом классе не менее двух учеников).
 

Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике 200×3?

Дополнительные задачи

Белая ладья преследует чёрного слона на доске размером а) 3×10; б) 3×1000 клеток (ходят по очереди по обычным правилам, начинают белые). Может ли ладья взять слона?
 

У стены круглой комнаты диаметром 3 м на полу сидит кузнечик. Каждый его прыжок имеет длину ровно 2 м. Он начинает прыгать. В какие точки комнаты он может попасть?
 

За круглым столом сидят 2003 представителя четырёх племён: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы не сидят рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного и того же племени сидят рядом.