МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

а) Докажите, что число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4.
б) Придумайте и докажите признак делимости на 8.
 

Петя задумал целое число от 1 до 32. Вася может задавать Пете любые вопросы, на которые тот сможет ответить «да» или «нет».
а) Помогите Васе узнать Петино число, задав не более 5 вопросов.
б) Может ли Вася угадать Петино число, задав не более 4 вопросов?
 

Ниже изображена таблица с числами. Задумайте любое целое число от 1 до 15. Скажите преподавателю, в каких строках таблицы оно стоит, и преподаватель, не глядя в таблицу, сразу отгадает это число. Можете ли Вы угадывать числа, не заучивая таблицу наизусть? Как Вы будете это делать?

Петя и Вася одновременно прыгнули с плывущего по реке плота и поплыли в разные стороны: Петя — по течению, Вася — против течения. Через 5 минут они развернулись и вскоре вновь оказались на плоту. Кто вернулся раньше? (Каждый плыл равномерно со своей скоростью.)

а) Найдите остатки от деления на 9 чисел 10, 100, 1000, 10000,....
б) Пусть a — цифра. Докажите, что остаток от деления числа a0...0 на 9 равен a (или 0, если a = 9).
в) Докажите, что целое число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
 

Величина угла A треугольника ABC больше величины угла B. Докажите неравенство BC > AC.
 

В стране расстояния между городами различны. Паша выехал из города А в наиболее удалённый от А город В, из В — в наиболее удалённый от В город С, и так далее. Оказалось, что А и С — разные города. Докажите, что Паша, действуя таким образом, никогда не вернётся в А.

Дополнительные задачи

У числа 100! = 1 · 2 · 3 · ... · 99 · 100 нашли сумму цифр (его десятичной записи), получив тем самым новое число, у которого снова нашли сумму цифр, и так далее. В конце концов получилось однозначное число. Какое?

В некоей стране несколько аэродромов, все расстояния между которыми различны. С каждого аэродрома взлетает самолёт и летит на ближайший аэродром. Докажите, что на каждом аэродроме приземлятся не более чем 5 самолётов.
 

Петя задумал целое число от 1 до 16. Вася может задавать Пете любые вопросы, на которые можно ответить «да» или «нет». Отвечая на эти вопросы, Петя может один раз соврать (когда захочет). Помогите Васе узнать Петино число, задав не более 7 вопросов.