МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Нарисуйте участок луга, который выест коза, привязанная верёвкой к одиноко стоящему на лугу колышку.
 

Математик прогуливался по лугу, держа козу на поводке длины 1 м. Путь математика имел вид прямоугольника размером 3 м × 5 м. Нарисуйте участок, на котором могла побывать при этом коза, не обрывая поводка.
 

Удержите козу на участке такой формы: (привяжите её с помощью верёвок и колышков так, чтобы она могла есть траву лишь внутри некоторого участка).
 

На лугу между двумя колышками натянем верёвку. У второй верёвки один конец привяжем к ошейнику козы, а на другом сделаем петлю, скользящую по первой верёвке. Какой участок выест коза?
 

Удержите козу а) в полукруге; б) в квадрате; в) в данном прямоугольнике.
 

Удержите козу в а) треугольнике; б) равностороннем шестиугольнике.
 

Введём в действие собак: будем привязывать их к колышкам, а они будут мешать козе есть. а) Как одной собакой удержать козу в кольце? б) А как — в полукруге? в) Удержите непривязанную козу с помощью собак в треугольнике.
 

Забор имеет вид треугольника. Внутри к серединам двух сторон привязали верёвкой по козе; длина каждой верёвки равна половине длины стороны, к которой она привязана. Могут ли козы съесть всю траву внутри забора?

Дополнительные задачи

«Пете позавчера было 10 лет, а в следующем году будет 13.» Могло ли так быть?

Есть 10 мешков. В каждом по 100 монет. Один из них заполнен фальшивыми монетами, которые на 1 г легче настоящих. За одно взвешивание на чашечных весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, найти фальшивый мешок.