МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 21. Разумный перебор

1.

Сколько существует двузначных натуральных чисел? А трёхзначных натуральных чисел? А четырёхзначных?

2.

Сколько раз встречается цифра 7 в записи натуральных чисел от 1 до 1000?

3.

Знаменитый преступник проник в банк, но так и не смог подобрать трёхзначный код от сейфа. Шерлок Холмс по отпечаткам пальцев обнаружил, что преступник успел попробовать комбинации 543, 142 и 562, после чего его спугнул охранник. Оказалось, что в каждом из этих вариантов преступник угадал ровно одну из трёх цифр кода. Узнав это, Шерлок Холмс тут же назвал код от сейфа. А вы сможете его назвать?

4.

В коробке лежат костяшки домино (см. Рис. 1). Как могут быть расположены костяшки, если известно, что все они различны? Каждая костяшка домино состоит из двух квадратиков с общей стороной, на каждом из которых стоит от 0 до 6 точек.

Рис. 1

5.

В стране три города: Правдин, Лгунов и Переменск. Жители Правдина всегда говорят правду, Лгунова — лгут, а жители Переменска строго попеременно лгут и говорят правду. Пожарным позвонили: «У нас в городе пожар!» — «Где горит?» — «В Переменске». Пожарные уверены, что пожар есть. Куда им ехать?

6.

Сколько есть семизначных чисел, состоящих из трёх единиц и четырёх нулей? Число не должно начинаться с нуля.

7.

Сколькими способами можно отметить на игральном кубике (грани которого пронумерованы числами от 1 до 6) две соседние грани?

8.

Расставьте различные натуральные числа в свободных клетках таблицы 3×3 на рисунке справа (см. Рис. 2) так, чтобы суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали были одинаковыми. Достаточно одного способа.

Рис. 2

9.

Сколькими способами можно закрасить одну или несколько клеток на шахматной доске так, чтобы закрашенные клетки образовы–вали закрашенный квадрат? Важен и размер, и расположение квадрата.

10.

Сколько существует двузначных натуральных чисел, у которых сумма цифр не меньше произведения цифр?

11.

Найдите какое–нибудь решение ребуса на рисунке справа (см. Рис. 3). Одинаковые буквы замените одина–ковыми цифрами, а разные — разными.

Рис. 3