МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 13. Повторение — мать учения

Это последнее занятие Малого мехмата в 2015 году.
Следующее занятие состоится в субботу 13 февраля 2016 года.

1.

Встретились два жителя острова рыцарей и лжецов. Один из них сказал: «По крайней мере один из нас — рыцарь». Второй ему ответил: «Ты — лжец». Кто из них кто на самом деле?

2.

Какие 500 идущих подряд натуральных чисел надо выписать, чтобы всего было выписано 2015 цифр?

3.

Хулиган Гоша порвал школьную стенгазету на 3 части. После этого он взял одну из частей и тоже порвал на 3 части. Потом он опять порвал одну из частей на 3 части, и так далее. Могло ли у него получиться 100 частей за несколько таких операций? А 2015 частей?

4.

У Пети в кармане могут быть монеты в 1 руб., 2 руб., 5 руб. и 10 руб.

а)

В кармане 10 монет, и если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета в 1 рубль. Какая наибольшая сумма денег может быть в кармане?

б)

В кармане 10 монет, и если Петя наугад вытащит из кармана 7 монет, среди них обязательно найдутся три монеты разного достоинства. Какая наибольшая сумма денег может быть в кармане?

в)

Если Петя наугад вытащит из кармана 3 монеты, среди них обязательно найдётся монета в 1 рубль. Если Петя наугад вытащит из кармана 4 монеты, среди них обязательно найдётся монета в 2 рубля. Петя вытащил из кармана 5 монет. Назовите эти монеты.

5.

На каждой перемене Робин–Бобин–Барабек съедает по конфете. За неделю (с понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съел Робин? (Каждый день был хотя бы один урок.)

6.

У Олега есть коробка такой формы, как левый треугольник на рисунке, и кусок торта такой формы, как правый треугольник на рисунке.

а)

Как ему разрезать кусок торта на две части, чтобы уложить его в коробку?

б)

Как ему разрезать кусок торта на три части, чтобы уложить его в квадратную коробку 3×3 клетки?

7.

В парламенте острова рыцарей и лжецов заседает 101 депутат. В целях сокращения бюджета руководство острова решило уменьшить состав парламента на одного человека. Но каждый из депутатов сказал, что если его исключат из парламента, то среди оставшихся депутатов большинство будут лжецами. Сколько лжецов и рыцарей было в парламенте изначально?

8.

Прямоугольник 5×9 разрезали по клеточкам на 10 прямоугольников. Докажите, что среди них обязательно найдутся два одинаковых.