МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 17. Нарисуй задачу

1.

Страна Лапландия почти вся состоит из непреодолимых гор и рек. В ней есть шесть городов: А, Б, В, Г, Д и Е. Известно, что из А проложены дороги в Б и Г, из Б — в А, Г и Д, из В — в Г и Е, из Г — в В и Д, из Д — в Б и Г, из Е — только в В. Все остальные дороги непроходимы.

а)

Нарисуйте карту Лапландии.

б)

Нарисуйте карту Лапландии так, чтобы дороги не пересекались.

в)

Может ли житель города А попасть в город Д, если ему нельзя проходить через Г?

г)

Сможет ли он при тех же условиях попасть в город Е?

2.

В шахматном турнире участвуют семь школьников. Каждые два участника за время турнира сыграли между собой не более одной партии. Известно, что Ваня сыграл шесть партий, Толя — пять, Лёша и Дима — по три, Семён и Илья — по две, Женя — одну. С кем играл Лёша?

3.

Есть замкнутая система озёр (в которую не впадают никакие реки извне и из которой не вытекают никакие реки), соединённых между собой реками. Может ли из каждого озера вытекать 3 реки, а впадать 4?

4.

В стране 2016 городов, некоторые из которых соединены дорогами. Может ли из всех городов выходить различное число дорог?

5.

Несколько фишек двух цветов расположены в ряд (встречаются оба цвета). Известно, что любые две фишки, между которыми есть 2 или 3 фишки, одинаковы. Какое наибольшее число фишек может быть?

6.

В стране Семёрка 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее чем с 7 другими. Докажите, что из каждого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

7.

В трёх вершинах пятиугольника расположили по фишке (см. рис. 1). Разрешается двигать их по диагонали в свободную вершину. Можно ли добиться того, чтобы одна из фишек вернулась на начальное место, а две другие поменялись местами (см. рис. 2)?

Рис. 1	Рис. 2

8.

В стране 2016 городов. Между каждыми двумя городами установлено воздушное сообщение одной из двух авиакомпаний. Докажите, что можно оставить одну из этих авиакомпаний так, что из любого го-рода можно будет попасть в любой другой рейсами этой авиакомпании.