МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Кружок 8 класса
Руководитель Евгений Александрович Асташов
2014/2015 учебный год
2014/2015 учебный год
Занятие 8. Биномиальные коэффициенты
Определение. Число способов выбрать из n различных предметов k различных предметов, если порядок, в котором они выбираются, неважен, называется числом сочетаний из n по k и обозначается Cnk (читается «цэ из эн по ка»).
Теорема 1. В треугольнике Паскаля в n–й строке на k–м слева месте стоит число Cnk (Единица стоит на нулевом месте.)
Теорема 2 (бином Ньютона). Если раскрыть скобки и привести подобные в выражении (a + b)n, то
для всех 0≤ k≤ n коэффициент при akbn−k будет равен Cnk :
- 1.
- С помощью теорем 1 и 2 раскройте скобки и приведите подобные в выражении (a + b)7.
- 2.
- Почему числа 112 = 121 и 113 = 1331 похожи на строчки треугольника Паскаля? Чему равно 114?
- 3.
-
С помощью теорем 1 и 2 вычислите без помощи калькулятора и умножения в столбик:
- a)
- 214;
- б)
- 194.
- 4.
-
Докажите, что Cnk = Cnn − k,
с помощью:
- a)
- определения;
- б)
- теоремы 1;
- в)
- теоремы 2.
Подсказка. (a + b)n = (b + a)n. - 5.
-
С помощью теоремы 2 докажите, что:
- a)
- Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 … + Cnn−1 + Cnn = 2n;
- б)
- Cn0 − Cn1 + Cn2 − … + (−1)nCnn = 0;
- в)
- Cnk + Cnk + 1 = Cn + 1k + 1;
- г)
- (Cn0)2 + (Cn1)2 + (Cn2)2 + … + (Cnn)2 = C2nn.
Подсказки. 1 + 1 = 2; 1 − 1 = 0; (a + b)n + 1 = (a + b)n (a + b); (a + b)2n = (a + b)n (a + b)n. - 6
- В разложении выражения (x + y)n с помощью бинома Ньютона второй член равен 240, третий 720, а четвёртый 1080. Найдите x, y и n.
- 7
-
Докажите теорему 1.
Идея доказательства. Будем двигаться по треугольнику Паскаля, начиная с самой верхней единицы и каждым шагом переходя к числу, стоящему в следующей строке чуть правее или чуть левее. Чтобы дойти до k–го числа в n–й строке, нужно сделать k шагов вправо и n − k шагов влево. Теперь можно воспользоваться задачей 9 предыдущего занятия.
- 8
-
Докажите теорему 2.
Схема доказательства. (1) Докажите теорему для n = 0 и n = 1.
(2) Пусть теорема уже доказана для n = m; пользуясь теоремой 1 и равенством (a + b)m + 1 = (a + b)m(a + b), докажите её теперь и для n = m + 1.