МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 22. Цэ–шесть

Такие задачи дают 11–классникам на ЕГЭ в качестве самых сложных. Однако решить их вам уже по силам и в 8 классе! Проверим?

1.

Задуманные числа. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все возможные суммы (по два, по три и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. (Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет записан набор 2, 3, 5, 2 + 3 = 5, 2 + 5 = 7, 3 + 5 = 8, 2 + 3 + 5 = 10.)

a)

На доске выписан набор −8, −5, −4, −3, −1, 1, 4. Какие числа задуманы?

б)

Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в)

На доске выписано 63 числа. Сколько чисел было задумано?

г)

Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

2.

Задуманные числа–2. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по два, по три и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое–то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. (Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.)

а)

Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б)

Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в)

Какие числа могли быть задуманы, если на доске в результате оказался записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41?

3.

НОДы по кругу. По кругу в некотором порядке по одному разу написаны числа от 9 до 18. Для каждой из десяти пар соседних чисел нашли их наибольший общий делитель.

а)

Может ли быть, что все наибольшие общие делители равны 1?

б)

Может ли быть, что все наибольшие общие делители попарно различны?

в)

Какое наибольшее количество попарно различных наибольших общих делителей может при этом получиться?