МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Евгений Александрович Асташов
2014/2015 учебный год

Занятие 14. Неравенство о среднем

Определение. Среднее арифметическое n чисел a1, a2, …, an — это частное от деления их суммы на их количество: (a1 + a2 + … + an) / n.
Среднее геометрическое n положительных чисел a1, a2, …, an — это корень n–й степени из их произведения: (a1 · a2 · … · an)1/n
Теорема (неравенство о среднем). Если a ≥ b > 0 , то a ≥ (a + b)/2 ≥ √a · b ≥ b. Все неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда a = b. Другими словами, среднее арифметическое любых двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического, и оба средних заключены между самими числами.

1.
Докажите, что для всякого положительного числа C и любых чисел x, y выполняется неравенство (Cx2)/2 + y2/(2C) ≥ xy.
2.
a)
Какое наименьшее значение может принимать выражение x + 1/(9x) при положительных x?
б)
При каком x достигается наименьшее значение?
3.
Докажите, что если a > 0, b > 0 и ab > a + b, то a + b > 4.
4.
a)
Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d имеет место неравенство (a + b + c + d)/4 ≥ (abcd)1/4.
б)
Когда достигается равенство?
5.
Для любых a, b, c > 0 докажите неравенства:
a)
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac;
б)
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
6
a)
В треугольнике ABC угол C — прямой, CH — высота. Докажите, что CH = √AH · BH. (Другими словами, высота прямоугольного треугольника равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу.)

. Подсказка: сначала докажите, что треугольники AСH и BCH подобны.
б)
С помощью пункта а) докажите геометрически неравенство о среднем.

. Подсказка: в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
7
Пусть x2 + y2 + a2 + b2 = 2. Докажите, что:
a)
xy ≤ 1 − ab;
б)
(a + 2)(b + 2) ≥ 0;
в)
xy ≤ ab + 2a + 2b + 3.
8
a)
Пусть a > 1, b < 1. Докажите, что a + b > 1 + ab.
б)
Пусть a, b, c > 0 и abc = 1. Докажите, что a + b + c ≥ 3.
в)
Для любых a, b, c > 0 докажите неравенство (a + b + c)/3 ≥ (abc)1/3.
г)
Сформулируйте и докажите аналог этого неравенства для n чисел.