МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 15. Мини–повторение

Неравенство о среднем. Если a ≥ b > 0 , то a ≥ (a + b)/2 ≥ √a · b ≥ b. Все неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда a = b.

1.

Известно, что a + b= −7, a · b = 12. Найдите:

a)

(a + b)²;

б)

a² + b²;

в)

(a − b)²;

г)

a² − ab + b²;

д)

a³ + b³

2.

Про действительное число x ≠ 0 известно, что (x − 1/x)² = 3. Найдите все значения выражений:

a)

x − 1/x;

б)

x · 1/x;

в)

x² + 1/x²;

г)

(x + 1/x)²

д)

x³ − 1/x³;

3.

Докажите, что при всех значениях x выполнены неравенства:

а)

x² + 2x + 1 ≥ 0;

б)

9x² − 6x + 1 ≥ 0;

в)

x² − 4x + 3 ≥ -1;

г)

x² + 4 ≥ 4x.

4.

Докажите для всех a и b неравенства:

а)

a² + b² ≥ 2ab (а значит, (a² + b²)/2 ≥ ab);

б)

(C²a²)/2 + b²/(2C²) ≥ ab (C — любое ненулевое число);

в)

(a² + b²)/2 ≥ ((a + b)/2)² (или ((a² + b²)/2)^½ ≥ (a + b)/2 );

г)

(a + b)/2 ≥ 2/(1/a + 1/b) (a, b > 0).

5.

a)

Какое наименьшее значение может принимать при x ≠ 0 выражение 32x² + 1/(8x²) ?

б)

При каком x достигается наименьшее значение?

a)

Какое наибольшее значение может принимать при x ≠ 0 выражение 32x + 1/(8x) при отрицательных x ?

б)

При каком x достигается наибольшее значение?

6

Найдите все пары натуральных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению:

а)

x² − y² = 13;

б)

x² − y² = 21.

в)

Докажите, что квадраты двух натуральных чисел не могут отличаться друг от друга на 14.

7

Для любых a, b, c > 0 докажите неравенства:

a)

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac;

б)

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.

Подсказка

Подсказка. В одном случае сложить три неравенства о среднем, а в другом перемножить.

8

а)

Выведите формулу : (a + b + c)² = ?

б)

Известно, что a + b + c = 5 и ab + bc + ac = 5. Чему может равняться a² + b² + c²?

в)

Известно, что x + y + z = 0. Докажите, что xy + yz + zx ≤ 0.