МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 20. Равные площади

1.

В трапеции с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что:

a)

S(ΔABC) = S(ΔBCD);

б)

S(ΔAOB) = S(ΔCOD).

2.

В треугольника ABC проведена биссектриса BL.

a)

Докажите, что S(ΔABL) : S(ΔBCL) = AL : CL = AB : BC.

б)

Найдите AB, если BC = 9, AL = 7,5, CL = 4,5.

в)

Найдите LC, если AB = 30, AL = 20, BC = 16.

3.

Внутри параллелограмма ABCD отмечена точка O. Докажите, что S(Δ AOB) + S(Δ COD) = ½ S(ABCD) = S(Δ BOC) + S(Δ AOD).

4.

a)

Вершины одного квадрата расположены на сторонах другого и делят эти стороны в отношении 1 : 2, считая по часовой стрелке. Найдите отношение площадей квадратов.

б)

Стороны треугольника площади 1 разделены в отношении 3 : 1 по часовой стрелке. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках деления.

5.

На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты («пифагоровы штаны»). Их вершины соединены так, как показано на рис. 1. Докажите равенство площадей серых треугольников.

6

a)

Точки K, L, M, N — середины сторон параллелограмма ABCD. Прямые DK, BM, AL, CN ограничивают маленький параллелограмм. Найдите отношение площадей параллелограммов.

б)

В выпуклом четырёхугольнике отметили середины сторон и соединили их с вершинами так, как показано на рис.2. Докажите, что площадь чёрного четырёхугольника равна сумме площадей серых треугольников.

7

Через точку внутри квадрата проведены прямые, параллельные его сторонам и диагоналям (см. рис.3). Докажите, что сумма площадей белых частей равна сумме площадей серых частей.