МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 0. Письменная работа

1.

Сын вдвое моложе отца. Родился он, когда отцу было 24 года. Сколько лет сыну?

2.

В равнобедренном треугольнике один из углов равен 45°. Какой это треугольник — остроугольный, прямоугольный или тупоугольный?

3.

В кинотеатре несколько рядов по 12 кресел. Первый ряд пронумерован от 1 до 12, второй от 13 до 24, и так далее. Номер сидения Васи равен номеру ряда Пети. Сумма номеров их сидений равна 123. Найдите номера сидений Васи и Пети.

4.

Поля, Даша, Света и Юля были на математической олимпиаде. На вопрос «Кто из вас решил последнюю задачу?» они ответили так:
Поля: «Даша не решила задачу. Я тоже ее не решила».
Даша: «Юля решила задачу. А вот Света — нет».
Света: «Да, задачу решила Юля. А вот я не смогла».
Юля: «Поля решила задачу. Света — тоже».
Кто мог решить задачу, если каждая девочка один раз сказала правду, а один раз ошиблась? Перечислите все возможные варианты.

5.

В классе 25 человек. Может ли быть так, что 6 из них имеют ровно по 3 друга, 10 — ровно по 4 друга, а 9 — ровно по 5 друзей в этом классе?

6

Сколькими способами можно переставить буквы в слове МЕХМАТ так, чтобы между двумя гласными буквами стояли две согласные?

7

ABCD — четырехугольник, причем AD || BC. Точка M лежит на прямой BC, AM ⊥ BD, AM — биссектриса угла BAD, ∠ BMA = ∠ ABD. Докажите, что ABMD — квадрат.

8.

Может ли сумма квадратов двух нечетных чисел быть квадратом целого числа?

9.

Найдите НОД всех девятизначных чисел, полученных перестановкой цифр в числе 123456789 (включая и само это число).