МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 16. Построение отрезков

Для решения задач сегодняшнего занятия вам могут пригодиться следующие факты.

 1. Теорема Фалéса. Пусть точки A₁, A₂, A₃, … , A_n лежат на прямой a, а точки B₁, B₂, B₃, … , B_n — на прямой b, причём A₁B₁|| A₂B₂|| A₃B₃|| … || A_nB_n и A₁A₂ = A₂A₃ = … = A_{n − 1}A_n. Тогда B₁B₂ = B₂B₃ = … = B_{n − 1}B_n.

 2. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c имеет место равенство a² + b² = c².

 3. Если в прямоугольном треугольнике основание высоты h, опущенной из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки a_c и b_c, то h² = a_c · b_c.

1.

Дан отрезок длины 1. С помощью циркуля и линейки постройте отрезки длины:

a)

½;

б)

¼;

в)

1/5;

г)

4/5;

д)

1/n;

е)

m/n (m, n — натуральные числа).

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь теоремой Фалеса.

2.

Дан отрезок длины 1. С помощью циркуля и линейки постройте отрезки длины:

a)

√2;

б)

√5;

в)

√8;

г)

√13;

д)

√17.

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

3.

Дан отрезок длины 1. С помощью циркуля, линейки и результатов предыдущей задачи постройте отрезки длины:

a)

√3;

б)

√6;

в)

√7;

г)

√14.

4.

a)

Даны отрезки длины 1 и √k (k — натуральное число). С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длины √k + 1.

б)

Докажите, что, имея отрезок длины 1, можно с помощью циркуля и линейки построить отрезок длины √n для любого натурального n.

5.

Дан отрезок длины 1 и натуральные числа m и n. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длины (m/n)^½.

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь задачами 1 и 4.

6

a)

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной на гипотенузу.

Подсказка

Подсказка. в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

б)

Даны отрезки длины a и b. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длины √ab.

7

Дан отрезок длины 1. С помощью циркуля, линейки и результатов предыдущей задачи постройте отрезки длины:

a)

√6;

б)

(1/6)^½.

8

Даны отрезки длины a, b, c. С помощью циркуля и линейки постройте отрезок длины ab/c.

Подсказка

Подсказка. Воспользуйтесь подобными треугольниками.