МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 13. Формулы сокращённого умножения

1.

Вычислите:

a)

81²;

б)

79²;

в)

0,67 · 0,73;

г)

10 2/7 · 9 5/7;

д)

(4 5/8)²;

е)

202³.

2.

Вычислите: (37,39 + 56,93/37,39 − 56,93 − 37,39 − 56,93/37,39 + 56,93) · (37,79² − 56,93² / 37,79 · 56,93).

3.

Найдите значение произведения (1 - 1/4) · (1 - 1/9) · (1 - 1/16) · … · (1 - 1/400) .

4.

Известно, что a + b=7, a · b = 2. Найдите:

a)

ab² + a²b;

б)

a² + b²;

в)

(a − b)²;

г)

a³ + b³;

д)

a³b⁶ + a⁶b³;

5.

Про действительное число a известно, что a − 1/a = 2/3. Найдите:

a)

a² + 1/a²;

б)

a⁴ + 1 / 2a²;

в)

a³ + 1/a³;

г)

a¹² + 1 / a⁶;

6

a)

Решите уравнение x² = 20152014 · 20152016 + 1.

б)

Два различных числа x и y (не обязательно целых) удовлетворяют равенству x² − 2015x = y² - 2015y. Найдите сумму чисел x и y.

в)

Про различные числа a и b известно, что a/b + a = b/a + b. Найдите 1/a + 1/b.

7

Докажите, что если b = a − 1, то (a + b) · (a² + b²) · (a⁴ + b⁴) · … · (a³² + b³²) = a⁶⁴ − b⁶⁴.

8

Найдите значение выражения a³ + b³ − 3b² + 3b − 1 / a² − ab + a + (b − 1)² при a = − 3 − 5√3, b = 11 + 5√3.

9

Найдите все пары натуральных чисел x и y, удовлетворяющих уравнению:

а)

x² − y² = 19;

б)

x² − y² = 111.

в)

Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых также является простым числом.

10

а)

Выведите формулу для квадрата суммы трёх чисел: (a + b + c)² = ?

б)

Известно, что a + b + c = 5 и ab + bc + ac = 5. Чему может равняться a² + b² + c²?

в)

Известно, что x + y + z = 0. Докажите, что xy + yz + zx ≤ 0.

11

Докажите, что произведение четырёх последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, является квадратом натурального числа.