МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 19 (29 марта 2014 года). Неравенство треугольника

1.

Докажите, что для любого ΔABC верно неравенство: AB ≤ BC + AC.

2.

Докажите, что в треугольнике со сторонами a, b, c медиана m, проведённая к стороне c, удовлетворяет неравенству \(m > \frac{a+b-c}{2}\).

3.

Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного выпуклого четырёхугольника минимальна.

4.

Сколько можно составить треугольников из отрезков, длины которых равны 2, 3, 4, 5, 6 ?

5.

Докажите, что шесть ребер любого тетраэдра можно разбить на три пары (a,b), (c,d), (e,f) так, чтобы из отрезков длин a + b, c + d и e + f можно было составить треугольник.

6.

Докажите, что для любых x, y, z и w верно неравенство: \[\sqrt{(x+z)^2+(y+w)^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+w^2}.\]

7.

Докажите, что для любых x, y, z и w верно неравенство: \[|x+z|+|y+w| \leq |x|+|y|+|z|+|w|.\]

8.

Пусть a, b и c — длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что \[\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c} \geq 3.\]

9.

Докажите, что для любых x, y, z и w верно неравенство: \[\max\{|x+z|; |y+w|\} \leq \max\{|x|; |y|\}+\max\{|z|; |w|\}.\]