МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 8 (16 ноября 2013 года). Признаки делимости

1.

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2, 4, 8 и 2ⁿ.

2.

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 5, 25 и 5ⁿ.

3.

Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6

а)

если каждая цифра может встречаться только один раз?

б)

если каждая цифра может встречаться несколько раз?

4.

Дома у Олега есть сейф, но кода он не знает. Бабушка рассказала Олегу, что код состоит из 7 цифр — двоек и троек, причем двоек больше, чем троек. А дедушка — что код делится и на 3, и на 4. Сможет ли Олег с первой попытки открыть сейф?

5.

Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, записанными в произвольном порядке. Докажите, что ни одно из них не делится ни на какое другое.

6.

Решите уравнение в целых числах m² − n² = 2002.

7.

На какую наибольшую степень тройки делится произведение 3·33·333·...·3333333333?

8.

Сформулируйте и докажите признак делимости на 11.