МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 11 (6 декабря 2013 года). Разрезания

Теорема Пифагора: если в прямоугольном треугольника катеты равны a и b, а гипотенуза — c, то a² + b² = c².

Обратная теорема Пифагора: если для треугольника со сторонами a, b и c верно соотношение a² + b² = c², то треугольник прямоугольный.

1.

Разрежьте прямоугольник 1×5 на 5 частей и сложите из них квадрат.

2.

Разрежьте 5-клеточный крест на части и сложите из них квадрат.

3.

Разрежьте квадрат 7×7:

а)

на квадрат 4×4, квадрат 3×3 и 4 равных прямоугольных треугольника;

б)

на один квадрат и 4 равных прямоугольных треугольника.

4.

Докажите, что любые два квадрата можно разрезать на части и сложить из них один большой квадрат.

5.

Докажите прямую и обратную теорему Пифагора.

6.

а)

Из вершины A треугольника ABC перпендикулярно прямой BC проведена прямая. На этой прямой выбрана произвольная точка M. Докажите равенство MB² − MC² = AB² − AC².

б)

Дан треугольник ABC и произвольная точка M плоскости, для которой выполнено равенство MB² − MC² = AB² − AC². Докажите, что прямая AM перпендикулярна прямой BC.

7.

Из точки M, лежащей внутри треугольника ABC опущены перпендикуляры MP, MK и ME на стороны AB, BC и CA соответственно. Докажите, что AP² + BK² + CE² = PB² + CK² + AE².

8.

Найдите геометрическое место точек, касательные из которых, проведённые к двум данным окружностям, равны между собой.