МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 6 (2 ноября 2013 года). Сумма цифр числа

Упражнение:
Вспомните признаки делимости на 3 и 9.
Как связаны остатки при делении на 3 и 9 с суммой цифр числа?

1.

Делится ли число 10²⁰¹³ + 8 на 9?

2.

Известно, что 35! = 10333147966386144929x66651337523200000000 (через n! обозначается произведение натуральных чисел от 1 до n). Найдите цифру, замененную x.

3.

Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

4.

Известно, что натуральное число n в 3 раза больше суммы своих цифр. Докажите, что n делится на 27.

5.

Докажите, что число 1234567891011...2001 (подряд выписаны числа от 1 до 2001) не является точным квадратом.

6.

Вася задумал число и прибавил к этому числу его сумму цифр. Петя также задумал число и тоже прибавил к нему его сумму цифр. В результате сложения у Васи и Пети получились одинаковые числа. Верно ли, что они задумывали одинаковые числа?

7.

Квадрат суммы цифр двузначного числа A равен сумме цифр числа A². Найдите все такие A.

8.

На доске написано число 8ⁿ. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если n = 2012?