МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 5 (26 октября 2013 года). Правильные многоугольники

Правильным называется многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

1.

Чему равен угол правильного n-угольника?

2.

Нарисуйте для каждого n n-угольник, у которого все углы равны, но он не является правльным.

3.

Докажите, что середины сторон правильного многоугольника образуют правильный многоугольник.

4.

Докажите, что для любого натурального n существует выпуклый многоугольник, имеющий ровно n осей симметрии.

5.

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

6.

Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от выбора точки.

7.

Отмечены вершины и середины сторон правильного десятиугольника (то есть всего отмечено 20 точек). Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

8.

Дан правильный девятиугольник. Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?

9.

Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?