МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 3 (12 октября 2013 года). Геометрические места точек

Геометрическое место точек (ГМТ) это множество точек на плоскости, удовлетворяющее какому-либо требованию.

Упражнение:

1. Постройте ГМТ, удалённых от точки O на расстояние r.
2. Постройте ГМТ, равноудалённых от концов отрезка AB.
3. Постройте ГМТ, равноудалённых от сторон данного угла.
4. Постройте ГМТ, удалённых от фиксированной прямой l на расстояние h.
5. Постройте ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых l₁ и l₂.
6. Постройте ГМТ, равноудалённых от двух пересекающихся прямых l₁ и l₂.

Задачи:

1.

Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

2.

а)

Постройте центр описанной окружности треугольника (окружности, проходящей через вершины треугольника).

б)

Постройте центр вписанной окружности треугольника (окружности, касающейся каждой из сторон треугольника).

в)

В каком случае эти два центра совпадают?

3.

Из середины гипотенузы восставлен перпендикуляр до пересечения с катетом, и полученная точка соединена с концом другого катета отрезком, который делит угол треугольника в отношении 2:5 (меньшая часть — при гипотенузе). Найдите этот угол.

4.

Дана линейка с параллельными краями и без делений. Постройте биссектрису угла, вершина которого недоступна (лежит вне чертежа).

5.

Среди поля проходит прямая дорога, по которой со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из которых можно догнать автобус, если бежать с такой же скоростью.

6.

В треугольнике ΔABC биссектриса, проведённая из вершины A, высота, проведённая из вершины B, и серединный перпендикуляр к стороне AB пересекаются в одной точке. Найдите угол при вершине A.