МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Про цифры (20 октября 2012 года)

1.

В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно \(23021^{377} - 1\). Не опечатка ли это?

2.

Ворчун задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

3.

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 5, 4 и 8.

4.

На сколько нулей оканчивается число а) \(10!\) б) \(2000!\)?

5.

Найдите последнюю цифру числа: а) \(2001^{2001}\); б) \(549^{49}\); в)\(345673^{376543}\); г) \(77^{77^{77}}\).

6.

Найдите две последние цифры числа: а) \(1999^{2000}\); б) \(16^{2000}\).

7.

Найдите последнюю ненулевую цифру числа \(2000!\).

8.

Подсчитать сумму цифр числа \((999..99)^3\) (в скобке 2002 девятки).

Дополнительные задачи

9.

В числе A цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа 9·A?

10.

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т. д. После одиннадцати таких вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?