МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Раскраски-2. 6 апреля 2013.

1.

Несколько кузнечиков сидят на одной прямой, причём расстояния между соседями - одинаковы. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Может ли через некоторое время кузнечик Саша оказаться на том месте, где в начале сидел его сосед Лёша?

2.

Раскрасьте плоскость в три цвета так, чтобы на каждой прямой были точки не более чем двух цветов, и каждый цвет был бы использован.

3.

На шахматной доске 8?8 двое сыграли в "Морской бой" не по правилам: один расставил 21 трёхпалубный корабль, а второй выстрелил один раз и не попал. Куда он мог выстрелить? (Укажите все возможные варианты).

4.

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что три кузнечика никогда не смогут оказаться на одной прямой, параллельной стороне квадрата.

5.

На бесконечной клетчатой бумаге отметили 400 клеток. Докажите, что из них можно выбрать 100 клеток так, чтобы они не имели между собой общих точек.

6.

Какое наибольшее количество ромбов, каждый из которых составлен из двух равносторонних треугольников со стороной 1, можно вырезать из равностороннего треугольника со стороной 5 (рис.1)?

7.

Треугольный замок разделён на 100 одинаковых треугольных залов (рис.2). В середине каждой стены сделана дверь. Сколько залов может осмотреть человек, не желающий нигде побывать больше одного раза?