МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Дмитрий Александрович Коробицын и Дмитрий Викторович Шелаев
2012/2013 учебный год

Формулы сокращенного умножения. 13 апреля 2013

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

1.
Чему равно произведение: (1 - 1/4)(1 - 1/9)(1 - 1/16)...(1 - 1/225)?
2.
Два различных числа x и y (не обязательно целых) таковы, что x2 − 2000x = y2 − 2000y. Найдите сумму чисел x и y.
3.
Найдите все пары простых чисел, разность квадратов которых является простым числом.
4.
Сколькими способами число 23 можно представить в виде разности двух квадратов натуральных чисел?
5.
a, b, c — такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0.
6.
Разложить в произведение многочленов меньших степеней: x4 + 16.
7.
Известно, что a + b + c = 5 и ab + bc + ac = 5. Чему может равняться a2 + b2 + c2?
8.
Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел, увеличенное на 1, является полным квадратом.