МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Лжецы и Рыцари (6 октября 2012 года)

На Острове живут два племени: племя Рыцарей, которые всегда говорят правду и племя Лжецов, которые всегда врут. Во всех задачах действия происходят на этом Острове.

1.

На Острове живет Рыцарь-Ворчун, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос? 

2.

Однажды на лестнице была найдена старинная Книга. В ней было записано сто утверждений (все разными почерками):
«В этой Книге ровно одно неверное утверждение»;
«В этой Книге ровно два неверных утверждения»;
...
«В этой Книге ровно сто неверных утверждений».
Сколько рыцарей приложили руку к её созданию?

3.

Путешественник нанял островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался рыцарем. Кем был проводник — рыцарем или лжецом?

4.

У каждого жителя острова рыцарей и лжецов есть собака. Часть жителей острова заявили, что на Острове четное число рыцарей, а остальные заявили, что на Острове нечетное число лжецов. Может ли число собак на Острове быть нечетным?

5.

На острове завелся Рыцарь-Оборотень, который по четным числам превращается в лжеца. Однажды Путешественник встретил этого Оборотня в компании двух его друзей. Путешественник спросил: «Кто из вас Оборотень?», и получил такие ответы:

A: C — оборотень. B: Я не оборотень. C: По крайней мере двое из нас сегодня лжецы.

Какое сегодня число — четное или нечетное?

6.

На острове живут лжецы и рыцари, всего 2013 человек. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы лгут. Каждый Житель Острова заявил: «Среди оставшихся жителей острова более половины — лжецы». Сколько лжецов на Острове?

7.

В Думе Острова 101 депутат. В целях сокращения бюджета было решено сократить Думу на одного депутата. Но каждый из депутатов заявил, что, если его выведут из состава Думы, то среди оставшихся депутатов большинство будут лжецами. Сколько рыцарей и сколько лжецов в Думе?

Дополнительные задачи

8.

За круглым столом сидят 30 человек – рыцари и лжецы. Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причем у рыцаря этот друг – лжец, а у лжеца этот друг – рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос «Сидит ли рядом с вами ваш друг?» сидевшие через одного ответили «Да». Сколько из остальных могли также ответить «Да»?

9.

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более (n − 1) врага. Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.