МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководители Дмитрий Александрович Коробицын и Дмитрий Викторович Шелаев
2012/2013 учебный год

Арифметическая прогрессия. 2 марта 2013

1.
а)
Найдите целых сумму чисел в промежутке от 1 до 200.
б)
Найдите сумму чётных чисел в промежутке от 12 до 180.
в)
Найдите сумму чисел делящихся на 7 в промежутке от 1 до 150.
г)
Найдите сумму чисел делящихся на 5 с остатком 2 в промежутке от 3 до 100.
Арифметическая прогрессия — числовая последовательность вида: a1, a1+d, a1+2d, … a1+(n-1)d, a1+nd, … то есть последовательность чисел, каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа d (шага прогрессии), т.е. an = an-1 + d. Тогда n-й член прогрессии может быть вычислен по формуле: an = a1 + (n-1)d.
2.
Найдите Sn = a1+a2+…an-1+an, если а1=4, d=3, n=20.
3.
Найдите Sn-Sk, если а1=2, d=4, n=20, k=14.
4.
Выразите теперь Sn - сумму первых n членов прогрессии, через a1, d и n.
5.
Дорога протяженностью 1 км полностью освещена фонарями, причем каждый фонарь освещает отрезок дороги длиной 1 м. Какое наибольшее количество фонарей может быть на дороге, если известно, что после выключения любого фонаря дорога будет освещена уже не полностью?
6.
Имеется бесконечная арифметическая прогрессия с натуральными членами. Доказать, что найдется член, в котором есть 100 девяток подряд.
7.
На клетчатой бумаге нарисована фигура: в верхнем ряду - одна клеточка, во втором сверху - три клеточки, в следующем ряду - 5 клеточек, и т.д., всего рядов - n. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.