МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 17.  Чётность

1.  

Можно ли разменять 25 рублей 10 купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей?
 

2.  

На чудо-дереве растет 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимает с дерева ровно два фрукта. Если он снимает одинаковые фрукты, то на дереве появляется новый банан, а если разные — новый апельсин. В конце концов на дереве останется только один фрукт. Какой?
 

3.  

Конь вышел с некоторой клетки шахматной доски и через несколько ходов вернулся на нее. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
 

4.  

Дана квадратная таблица. За один ход можно поменять все знаки в любой строке или в любом столбце на противоположные. Можно ли через несколько ходов получить таблицу из одних плюсов?

а)
+––+
–++–
–++–
+––+
  б)
+++–
++++
––++
++++
  в)
–++–
++++
++++
–++–

В следующих двух задачах рассматриваем игры. Играют двое, по очереди совершая ходы. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Надо выяснить, кто победит при правильной игре.

5.  

Первый игрок рисует на клетчатой бумаге квадрат. Затем второй игрок зачёркивает одну из клеток этого квадрата. Потом то же делает первый, и так далее.
 

6.  

Имеются две кучки конфет. В одной из них 18 конфет, а в другой — 19. За один ход нужно съесть целиком одну из кучек, а другую поделить на две (не обязательно равные) кучки.