МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

После семи стирок и длина, и ширина, и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?
 

Докажите, что среди любых трёх целых чисел можно найти два, сумма которых чётна.
 

Число учеников в Вашем школьном классе умножьте на 4, к результату прибавьте 7, полученное число умножьте на 25, прибавьте к полученному произведению 125 и число Вашего дня рождения. Скажите мне, что у Вас получилось, и я тут же назову число учеников в Вашем классе и Вашего день рождения. Как я всё это узнаю?
 

Сколькими способами можно разбить класс на две не обязательно одинаковые группы?
 

Имеется материя семи цветов. Из неё составляют флаг из пяти вертикальных полос, причём цвета полос могут повторяться. Флаг называют правильным, если в нём есть хотя бы одна красная полоса. Сколькими способами можно составить правильный флаг?
 

В клетках шахматной доски 8×8 записаны числа 1, 2, 3, . . . , 63, 64. Докажите, что найдутся такие две соседние клетки, что числа, записанные в них, отличаются не меньше, чем на 5. (Соседними называем клетки, имеющие общую сторону.)