МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

У любого человека на голове не более 400 000 волос. В Москве более 9 000 000 жителей. Докажите, что найдутся по крайней мере 23 москвича с одинаковым числом волос на голове.
 

Ковёр называют красивым, если в нём менее 50 дырок. В ковре старухи Шапокляк, имеющем форму квадрата со стороной 1 м, моль проела 52 дырки. У Шапокляк есть заплатка в форме квадрата со стороной 20 см. Докажите, что независимо от расположения дырок ей удастся сделать свой ковер красивым.
 

Известно, что среди участников кружка нет семи человек, отмечающих свои дни рождения в одном месяце. Поэтому когда Маша получила удостоверение участника кружка под номером 75, она сразу поняла, что удостоверения выдавались не по порядку номеров. Как она догадалась?
 

В лесу растут 362 ёлки. Докажите, что среди них есть либо 20 ёлок разной высоты, либо 20 ёлок одинаковой высоты.
 

Петя хочет написать на доске 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100. Сможет ли он это сделать?
 

Докажите, что в любом классе найдутся два человека, имеющие одинаковое число друзей среди своих одноклассников.