МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 11

1.  

В трёх кучках лежат 10, 15 и 30 камней соответственно. За один ход можно переложить любой камень из одной кучки в другую. Можно ли за несколько ходов уравнять количества камней во всех кучках?
 

2.  

Существуют ли несколько чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0,1?
 

3.  
В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

4.  

В некоторой стране 100 городов. Каждые два города соединены дорогой. Сколько дорог в этой стране?
 

5.  

В некоторой стране 100 городов. Некоторые города соединены дорогами. Может ли оказаться, что из каждого города выходит ровно а) 4; б) 3 дороги?
 

6.  

Один сапфир и два топаза
ценней, чем изумруд, в три раза.
А семь сапфиров и топаз
его ценнее в восемь раз.
Определить мы просим Вас,
сапфир ценнее иль топаз?
 

7.  

Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?