МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 22 (15 апреля 2017 года). Инвариант

Инвариант — это величина или свойство, которое не меняется при разрешённых в задаче действиях или одинаково во всех возможных по условию задачи ситуациях. Во всех задачах этого занятия нужно найти какой-нибудь инвариант — чётность, раскраску, сумму или произведение каких-нибудь чисел...

1.

Двое по очереди ломают шоколадку 2017×2017. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать хода. Кто выиграет в этой игре?

2.

Дядька Черномор написал на листке бумаги число 20. Тридцать три богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу, или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

3.

Может ли шахматный слон за 100 000 ходов попасть с поля А1 на поле А8?

4.

Рита, Люба и Варя решали задачи. Перед этим они купили конфет и условились, что за каждую решённую задачу девочка, решившая её первой, получает четыре конфеты, решившая второй — две, а решившая последней — одну. Девочки говорят, что каждая из них решила все задачи и получила 20 конфет, но одновременных решений не было. Докажите, что они ошибаются.

5.

На шахматной доске 5×5 клеток расставили 25 шашек — по одной на каждой клетке. Потом все шашки сняли с доски, но запомнили, на какой клетке стояла каждая. Можно ли ещё раз расставить шашки на доске таким образом, чтобы каждая шашка стояла на клетке, соседней (по стороне) с той, на которой она стояла в прошлый раз?

6.

На доске написаны натуральные числа: а) от 1 до 2007; б) от 1 до 2017. Разрешается стереть два любых числа и вместо них написать разность. Можно ли за несколько операций добиться того, чтобы на доске остались только нули?

7.

Петя записал на компьютере число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр. Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789?

8.

Дана доска 8×8 с шахматной раскраской. а) Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки какой-либо горизонтали или вертикали. Можно ли в итоге получить доску, у которой ровно одна чёрная клетка? б) Разрешается перекрашивать в другой цвет сразу все клетки любого квадрата 2×2. Можно ли в итоге оставить на доске ровно одну чёрную клетку?

9.

В клетках квадратной таблицы 10×10 расставлены цифры. Из цифр каждого столбца и каждой строки составили 10-значные числа — всего получилось 20 чисел. Может ли быть, что из них ровно 19 делятся на три?

10.

На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая её по столу через ребро, вернуть её на прежнее место, но: а) рубашкой вверх; б) рубашкой вниз и вверх ногами?