МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 5 (22 октября 2016 года). Чётные и нечётные

1.

Заполните таблицу (Ч — чётное число, Н — нечётное число):

Ч + Ч =	Ч – Ч =	Ч × Ч =	Ч × Н × … × Н × … × Н =
Ч + Н =	Ч – Н =	Ч × Н =	Н × Н × … × Н × … × Н =
Н + Н =	Н – Н =	Н × Н =	Н + Н + … + Н + … + Н =

Все ответы обоснуйте. От чего зависит значение последней суммы?

2.

Лера нарисовала на доске семь котиков. Потом в аудиторию пришли 33 школьника с Малого мехмата. Каждый из них или стёр одного котика, или дорисовал нового. Могло ли в конце остаться три котика?

3.

Может ли сумма трёх целых чисел быть чётной, а произведение тех же трёх целых чисел — нечётным?

4.

Можно ли разменять 100 фертингов монетами по 1, 3, 5 и 25 фертингов так, чтобы всего оказалось 33 монеты?

5.

По окружности стоят 2017 точек двух цветов. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, стоящие рядом.

6.

Непоседливый школьник разлил сок на клетчатый лист тетради размером 30×55 клеток. Могло ли после этого оказаться так, что испачканных клеток оказалось на 117 больше, чем чистых?

7.

Женя купил в магазине 16 папок, две толстые тетради, несколько ножниц по 16 руб. 20 коп. и несколько коробок скрепок по 22 руб. Ему сказали, что за покупку следует заплатить 235 руб. 65 коп. Женя понял, что кассир обсчитался. А как он это понял?

8.

Можно ли соединить проводами: а) 6 компьютеров; б) 7 компьютеров так, чтобы каждый был соединён ровно с пятью другими?

9.

На доске написано 1000 плюсов и 1001 минус. За один ход разрешается стереть любые два знака и написать вместо них плюс (если они одинаковы) или минус (если они различны). Какой знак останется на доске через 2000 ходов?

10.

Тарас Павлович написал на доске 50 целых чисел. Яша заметил, что сумма любых 49 чисел нечётна. Чётна или нечётна сумма всех чисел?

11.

Книга состоит из 10 рассказов объёмом 1, 2, 3, …, 10 страниц соответственно. Первый рассказ начинается на первой странице книги, каждый рассказ начинается с новой страницы. Какое наибольшее количество рассказов может начинаться с нечётной страницы?