МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 16 (4 марта 2017 года). Больше раскрасок

1.

В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку (по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки в форме квадрата 3×3: а) в левом верхнем; б) в правом верхнем углу?

2.

У Коли был набор «Юный паркетчик». В нём было несколько квадратиков 2×2 и несколько тетрамино вида «Т». Из набора Коля без наложений складывал доску 12×12 (и лишних паркетинок не оставалось). Коля потерял один квадратик, и в магазине купил вместо него тетрамино вида «Т». Докажите, что теперь Коля не сможет сложить доску 12×12.

3.

В таблице 9×9 две фишки стоят в соседних клетках, причём фишка первого игрока находится в угловой клетке. Двое игроков ходят по очереди — каждый своей фишкой. Ходить можно по горизонтали и по вертикали через клетку, а также по диагонали на одну клетку. Клетки, на которых стояли фишки, закрашиваются. По закрашенным клеткам ходить нельзя. Проигрывает тот, кому некуда ходить. Кто победит?

4.

В каждой клетке фигуры, показанной на рисунке, стоит гиря. Из них 18 гирь — настоящие, весящие одинаково. Две — фальшивые, они легче настоящих и, возможно, разной массы. Фальшивые гири расположены в соседних по стороне клетках. Как за три взвешивания на чашечных весах (без других гирь) узнать, в каких клетках расположены фальшивые гири?

5.

На каждой клетке доски размером 9×9 сидит жук. В некоторый момент времени все жуки переползают в одну из соседних по диагонали клеток. В каком наименьшем числе клеток могут оказаться несколько жуков?

6.

Любые два натуральных числа от 1 до 100 включительно соединены стрелкой, ведущей от меньшего числа к большему. Как раскрасить эти стрелки в красный и синий цвета, чтобы любой одноцветный путь проходил не более чем по девяти стрелкам?

7.

Петя и Вася играют на доске 8×8. Каждым ходом Петя выбирает клетчатый квадрат размером 1×1 или 2×2, все клетки которого ещё не окрашены, а Вася красит его в белый, синий или красный цвет так, чтобы граница квадрата не касалась по отрезку клетки того же цвета. Кто не может сделать ход, проигрывает. Кто из игроков может выиграть, независимо от игры соперника?