МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 15 (25 февраля 2017 года). Раскраски

диагональная в 3 цвета	4-цветная решётка	тигровая раскраска	окошки	крупные окошки

1.

На каждой клетке доски 7×7 сидит жук. а) По команде все жуки одновременно переползают на соседние по стороне клетки. Докажите, что при этом хотя бы в одной клетке будет несколько жуков. б) По команде все жуки переползают в одну из соседних по диагонали клеток. Докажите, что после этого найдётся 7 свободных клеток. Вам помогут шахматная и тигровая раскраски.

2.

Можно ли замостить доску 10×10 фигурами: а) Т-тетрамино; б) L-тетрамино? в) Можно ли из 13 кирпичей 1×1×2 сложить куб 3×3×3 с дыркой 1×1×1 в центре? Вам помогут шахматная и тигровая раскраски.

3.

Можно ли квадрат 10×10 разрезать на части 1×4? Решите задачу: а) с помощью диагональной раскраски в 4 цвета (как она устроена?); б) с помощью 4-цветной решётки; в) с помощью «окошек».

4.

Зáмок имеет форму правильного треугольника, разделённого на 25 маленьких залов той же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит по замку, не посещая более одного раза ни один из залов. Найдите наибольшее число залов, которое ему удастся посетить. Треугольные шахматы!

5.

а) Можно ли из квадрата 7×7 вырезать 10 квадратов 2×2? б) Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям сетки). Докажите, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик. Вам помогут окошки (обычные и крупные).

6.

На клетчатой бумаге отмечены произвольным образом 2000 клеток. Докажите, что среди них всегда можно выбрать 500 клеток, попарно не соприкасающихся друг с другом. Выберите раскраску сами.

7.

В квадрате 5×5 без наложений разместили 8 прямоугольников 1×3. Какая клетка могла оказаться не накрытой ни одним прямоугольником? Найдите все возможные варианты. Вспомните, в какой задаче вам встречались такие прямоугольники и что вы с ними тогда делали.

8.

Для игры в классики на земле нарисованы клетки с числами от 1 до 10 (см. рис.). Маша прыгнула снаружи в клетку 1, затем попрыгала по остальным клеткам (каждый прыжок — на соседнюю по стороне клетку) и выпрыгнула наружу из клетки 10. Известно, что на клетке 1 Маша была 1 раз, на клетке 2 — 2 раза, …, на клетке 9 — 9 раз. Сколько раз побывала Маша на клетке 10? Выберите раскраску сами.

1	4	5	8	9
2	3	6	7	10