МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 3 (8 октября 2016 года). Последняя цифра

1.

Найдите последнюю цифру числа: а) \(2^{100}\); б) \(549^{49}\); в) \(2016^{2016}\).

2.

В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно \(23021^{337} - 1\). Не опечатка ли это? (Простое число — это натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя.)

3.

В магазин привезли 206 литров молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов каждого вида?

4.

Делится ли число 4730 + 3950 на 10?

5.

Найдите последнюю цифру в произведении: а) всех простых чисел, не превосходящих 100; б) всех нечётных простых чисел, не превосходящих 100; в) всех нечётных чисел от 1 до 2017.

6.

Сколькими нулями оканчивается число \(2016! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot 2014 \cdot 2015 \cdot 2016\) ?

7.

Докажите, что среди квадратов любых пяти натуральных чисел всегда можно выбрать два, сумма или разность которых делится на 10.

8.

Найдите последнюю цифру числа \(7^{7^7}\). (Степени вычисляются «сверху вниз»: \(7^{\left( 7^7 \right)}\).)

9

. На доске было написано число из нескольких семёрок: 777...77. Влад стёр у этого числа последнюю цифру, полученное число умножил на 3 и к произведению прибавил стёртую цифру. С полученным числом он проделал ту же операцию, и так далее. Докажите, что через некоторое время у него получится число 7.