МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 18 (18 марта 2017 года). Найди крайнего

1.

Сколькими способами можно расставить в ряд натуральные числа от 1 до 100 так, чтобы соседние числа отличались не более чем на единицу?

2.

Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает барабанить. Какое наибольшее число зайчат может начать барабанить?

3.

а) По кругу выписано несколько натуральных чисел, каждое из которых не превосходит одного из соседних с ним. Докажите, что среди этих чисел точно есть хотя бы два равных. б) По кругу выписано несколько чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому двух соседних с ним. Докажите, что все эти числа равны между собой. (Средним арифметическим двух чисел a и b называется половина их суммы, то есть число (a + b) : 2.)

4.

На шахматной доске стоит несколько а) ладей; б) ферзей. Обязательно ли найдется фигура, бьющая не более двух других? (Бить «сквозь» другие фигуры ладьи и ферзи не могут.)

5.

Восемь рыболовов ловили рыбу. Известно, что никакие двое не поймали рыб поровну и что каждый поймал хотя бы одну рыбу. а) Какое наименьшее число рыб они могли поймать все вместе при этих условиях? б) Докажите, что какие-то двое из них поймали больше, чем какие-то пятеро, если все вместе они поймали 37 рыб.

6.

В стране есть несколько городов. Сумасшедший путешественник едет из города A в самый далёкий от него город B, затем — в самый далёкий от B город C, и так далее. Докажите, что если город С не совпадает с городом А, то путешественник никогда не вернётся обратно в город A.

7.

25 астрономов на двадцати пяти разных планетах наблюдают друг за другом при помощи телескопов, причём каждый наблюдает за ближайшим к нему (все расстояния между планетами различны). Докажите, что: а) есть две планеты, астрономы на которых наблюдают друг за другом; б) хотя бы за одним астрономом никто не наблюдает.

8.

В клетках доски 8×8 расставлены числа 1, 2, ..., 64. Докажите, что найдется пара соседних по стороне клеток, числа в которых отличаются не менее чем на 5.

9.

B стаде 101 корова. Если увести любую одну, то оставшихся коров можно разделить на два стада по 50 коров в каждом, так что суммарный вес коров первого стада равен суммарному весу коров другого стада. Известно, что каждая корова весит целое число килограммов. Докажите, что все коровы весят одинаково.