МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 21 (9 апреля 2016 года). Логические задачи

1.

Три друга — Пётр, Роман и Сергей — учатся на математическом, физическом и химическом факультетах. Если Пётр математик, то Сергей не физик. Если Роман не физик, то Пётр математик. Если Сергей не математик, то Роман химик. Сможете ли вы определить специальности каждого?

2.

За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Двое из них заявили: «Оба моих соседа — лжецы», а остальные восемь заявили: «Оба моих соседа — рыцари». Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 человек? (Перечислите все возможные варианты и докажите, что других нет.)

3.

После спектакля «Ревизор» Бобчинский и Добчинский начали препираться на сцене по поводу того, кто первый сказал «Э!».

Бобчинский:	Это Вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!».
	Вы сами раньше так говорили.
Добчинский:	Нет, Пётр Иванович, я так не говорил.
	Это Вы сёмгу первый заказали.
	Вы и сказали «Э!».
	А у меня зуб во рту со свистом.
Бобчинский:	Что я сёмгу первый заказал, это верно.
	И верно, что у Вас зуб со свистом.
	Но всё-таки это Вы первый сказали «Э!».

Выясните, кто первый сказал «Э!», если известно, что из 9 произнесённых фраз нечётное число верных.

4.

Илье Муромцу, Добрыне Никитичу и Алёше Поповичу за верную службу дали 6 монет: 3 золотых и 3 серебряных. Каждому досталось по две монеты. Илья Муромец не знает, какие монеты достались Добрыне, а какие Алёше, но знает, какие монеты достались ему самому. Придумайте вопрос, на который Илья Муромец ответит «да», «нет» или «не знаю», и по ответу на который вы сможете понять, какие монеты ему достались.

5.

Встретились как-то два знакомых математика А и Б, которые давно не виделись.

А:	У меня трое сыновей.
Б:	Сколько им лет?
А:	Произведение их возрастов равно 36.
Б:	Этой информации недостаточно.
А:	Сумма их возрастов равна числу окон вон того дома.

Б посмотрел на дом.

Б:	Этой информации мне тоже недостаточно.
А:	Мой старший сын рыжий.

На этот раз Б назвал возраст всех детей. Сколько лет каждому из них?

6.

В некотором государстве живут граждане трёх типов: дурак считает всех дураками, а себя умным; скромный умный про всех других граждан знает правильно, а себя считает дураком; уверенный умный про всех знает правильно, а себя считает умным. В думе этого государства 200 депутатов. Иностранный журналист пришёл в зал заседаний думы и провёл анонимный опрос думцев: сколько умных думцев сейчас находится в зале? По данным анкет он не смог узнать количество умных. Но тут из поездки вернулся единственный депутат, не находившийся в зале и не участвовавший в опросе. Он заполнил анкету про всю думу, включая себя. Прочитав эту новую анкету, журналист всё понял. Сколько умных могло быть в думе (включая путешественника)?

Дополнительные задачи

7.

В комнате 12 человек; некоторые из них честные, то есть всегда говорят правду, остальные всегда лгут. „Здесь нет ни одного честного человека”, — сказал первый. „Здесь не более одного честного человека”, — сказал второй. Третий сказал, что честных не более двух, четвёртый — что не более трёх, и так далее до двенадцатого, который сказал, что честных людей не более одиннадцати. Сколько честных людей в комнате на самом деле?

8.

Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры могло быть трехкопеечных монет?

9.

Император пригласил на праздник 2015 волшебников, некоторые из которых добрые, а остальные злые. Добрый волшебник всегда говорит правду, а злой может говорить что угодно. При этом волшебники знают, кто добрый и кто злой, а император — нет. На празднике император задаёт каждому волшебнику (в каком хочет порядке) по вопросу, на которые можно ответить «да» или «нет». Опросив всех волшебников, император изгоняет одного. Изгнанный волшебник выходит в заколдованную дверь, и император узнаёт, добрый он был или злой. Затем император вновь задает каждому из оставшихся волшебников по вопросу, вновь одного изгоняет, и так далее, пока император не решит остановиться (он может это сделать после любого вопроса). Докажите, что император может изгнать всех злых волшебников, удалив при этом не более одного доброго.