МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 9. Немного о себе (21 ноября 2015 года)

1.

Царь Пётр отдал придворному брадобрею такой приказ: брить всех придворных, которые не бреются сами; тех же, кто бреется сам, — не брить. Сможет ли брадобрей его выполнить?

Ответ Решение

Ответ. Нет, не сможет.

Решение. Если брадобрей не станет бриться сам, он нарушит первую часть приказа. Если брадобрей будет бриться сам, то нарушит вторую.

2.

На доске написано сто предложений:

„В этом предложении одна буква”.
„В этом предложении две буквы”.
...
„В этом предложении сто букв”.

Верно ли хотя бы одно из них?

Ответ

Ответ. Да, одно будет верным: „В этом предложении тридцать две буквы”.

3.

Заполните пропуски так, чтобы оба предложения были истинны.

„В следующем предложении цифра 1 встречается ___ раза, цифра 2 — ___ , цифра 3 — ___ , цифра 4 — ___ , цифра 5 — ___ , а цифра 6 — ___”.

„В предыдущем предложении цифра 1 встречается ___ раза, цифра 2 — ___ , цифра 3 — ___ , цифра 4 — ___ , цифра 5 — ___, а цифра 6 — ___ раз”.

Ответ

Ответ. В следующем предложении: 1 — 4 раза; 2 — 2 раза; 3 — 2 раза; 4 — 2 раза; 5 — 1 раз; 6 — 1 раз.
В предыдущем предложении: 1 — 3 раза; 2 — 4 раза; 3 — 1 раз; 4 — 2 раза; 5 — 1 раз; 6 — 1 раз.

4.

Заполните пустые клетки таблицы числами так, чтобы под каждой из цифр в первой строке было написано число раз, которое она встречается в этой таблице.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0

Ответ

Ответ. Есть два решения.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
7	3	2	1	1	1	2	1	1	1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
11	2	1	1	1	1	1	1	1	1

5.

Будем говорить, что прилагательное рефлексивное, если оно описывает свойство, которым само обладает. Например, прилагательное «русскоязычное» — рефлексивное, а прилагательное «несклоняемое» — нет. Какие из следующих прилагательных рефлексивные, а какие « нет?

двадцатичетырёхбуквенное пятисложное отглагольное

невыговариваемое рефлексивное нерефлексивное

Ответ

Ответ. Прилагательные «двадцатичетырёхбуквенное» и «пятисложное» — рефлексивные, а прилагательные «отглагольное» и «невыговариваемое» — нет. Про последние два прилагательных нельзя точно утверждать, рефлексивны они или нет. Прилагательное «рефлексивное» можно оценить как угодно, а любая оценка прилагательного «нерефлексивное» приводит к противоречию.

6.

Уже много лет один буддийский монах раз в год поднимается на гору и произносит: „Cкажи я это вчера, это было бы правдой вчера, но вчера я этого не говорил”. Правду ли он говорит?

Решение

Решение. Об истинности этого утверждения, когда оно было произнесено впервые, мы ничего сказать не можем. Докажем методом математической индукции, что во все последующие дни это утверждение будет ложно.

База индукции: На следующий день утверждение будет ложно — будет нарушено условие „вчера я этого не говорил”.

Шаг индукции: Если вчера утверждение было ложно, то сегодня утверждение будет ложно — нарушается условие „это было бы правдой вчера”. И даже если второе условие окажется верно, истинность утверждения целиком это не исправит.

7.

„X дней назад был день недели, в названии которого Y букв”.
„Y дней назад был день недели, в названии которого Z букв”.
„Z дней назад был день недели, в названии которого X букв”.
„Буквами X, Y и Z обозначены различные числа”.
В какой день недели все эти условия могут быть выполнены?

Ответ

Ответ. Условия будут выполнены в воскресенье, значения переменных — 5, 7, 11.

8.

В магазине есть 3 компьютера: американский, который всегда отвечает правду, китайский, который всегда врёт, и русский, который отвечает что попало. Перед покупкой разрешается задать один вопрос любому одному компьютеру. Можно ли задать такой вопрос, чтобы обязательно купить:

а)

не китайский;

Ответ Решение

Ответ. Нельзя.

Решение. Занумеруем компьютеры, первый — тот, которому задаётся вопрос. Пусть в случае ответа «да» покупатель берёт компьютер под номером d, а в случае ответа «нет» — под номером n. Если какое-то из чисел d или n не равно единице, рассмотрим два случая, в которых первый компьютер — русский. В одном из них при каком-то ответе покупатель выберет китайский компьютер. Значит, d = n = 1. Но тогда лжец будет куплен, если первый компьютер был китайским.

б)

не русский компьютер?

Ответ Решение

Ответ. Можно.

Решение. Например, занумеруем компьютеры так же, как и в пункте «а», и зададим вопрос: „Правда ли, что у русского компьютера номер на один больше, чем у китайского?” Если ответ «да», берём второй компьютер. Если ответ «нет» — третий.