МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 12 (12 декабря 2015 года)

1.

Как составить квадрат из 100 фигурок ?

2.

Имеется 15 ящиков. В каждом ящике лежит какое-то количество монет. Разрешается выбрать 7 ящиков и добавить в каждый по монете. Докажите, что такими операциями можно уравнять число монет в ящиках.

3.

Представьте число 1 в виде суммы а) трёх; б) четырёх; в) пяти; г) семи различных обыкновенных дробей, числители которых равны 1.

4.

Придумайте 10 различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них.

5.

Существует ли 44-угольник, который можно одной прямой разрезать на 21 равных треугольник?

6.

Некоторые клетки доски 8×8 покрашены в чёрный цвет, остальные — в белый. В угловой клетке стоит фигура «король-с-кисточкой». Он ходит как шахматный король (на соседнюю клетку по стороне или по диагонали), но, сделав ход, перекрашивает клетку, в которую пришёл, в противоположный цвет.

а)

Докажите, что, независимо от того, какие клетки были чёрными вначале, «король-с-кисточкой» может ходить так, чтобы в результате его перемещений вся доска оказалась покрашенной в белый цвет.\\

б)

А может ли «король-с-кисточкой» добиться шахматной раскраски?

7.

Из листа клетчатой бумаги 29×29 вырезали 99 квадратиков 2×2. Докажите, что из остатка можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

Дополнительные задачи

8.

Некоторые клетки доски 8×8 покрашены в чёрный цвет, а остальные — в белый. В угловой клетке стоит «конь-с-кисточкой». Он ходит как шахматный конь, но, сделав ход, перекрашивает клетку, в которую пришел, в противоположный цвет. Докажите, что, независимо от того, какие клетки были чёрными вначале, «конь-с-кисточкой» может ходить так, чтобы в результате его перемещений вся доска оказалась покрашенной в белый цвет.

9.

Планетная система Ух-ты состоит из 9 планет, каждая из которых обитаема. С незапамятных времён все планеты жили дружно. Но после того, как в Ух-ты побывали космические пираты Весельчак и Глот, некоторые планеты разорвали дипломатические отношения. Однако среди любых четырёх планет какие-то две по-прежнему дружат между собой. Системе Ух-ты угрожает вторжение сумчатых бегемотов, противостоять которому могут только объединённые силы трёх планет. Докажите, что сумчатым бегемотам не одолеть систему Ух-ты.

10.

а)

Нарисуйте замкнутую 8-звенную ломаную, которая пересекает каждое своё звено ровно 2 раза.

б)

А можно ли нарисовать 64-звенную ломаную с таким свойством?