МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 8 (14 ноября 2015 года). Математический аукцион

Правила математического аукциона

1. Школьники делятся на (примерно) равные команды.
2. Аукцион состоит из раундов по 2–3 задачи в каждом. На раунд отводится 15–20 минут. По истечении времени команды сдают листки с ответами к задачам раунда. Менять (улучшать) эти ответы потом нельзя!
3. Как все сдали листки с ответами, по каждой задаче в отдельности (последовательно) начинаются торги за право выхода к доске — рассказать свой ответ. У команд есть начальный капитал, скажем, 100 у.е.
4. Всегда можно поставить установленную сумму, скажем, 5 у.е., даже если придётся уйти в минус.
5. Результат торгов — последовательность, в которой представители команд выходят к доске — определяется в порядке убывания заявленных цен.
6. Команда, поставившая больше всех, обязана выйти к доске, остальные — на своё усмотрение (выходить бессмысленно, если твой результат хуже рассказанного).
7. У каждой команды, вышедшей к доске, заявленная цена вычитается автоматически.
8. Команда, рассказавшая верное и не улучшенное никем решение, получает удвоенную свою сумму.
9. ВА-БАНК. Можно пойти ва-банк — поставить всё, что есть (при условии, что капитал не меньше фиксированной суммы, скажем, 10 у.е.). Ва-банк можно перебить только бóльшим ва-банком.

Задачи

1.

Разрежьте квадрат. Разрежьте квадрат 7×7 на как можно большее число различных прямоугольников по линиям сетки.

2.

Пятиугольник. Нарисуйте треугольник как можно меньшей площади, содержащий данный пятиугольник:

3.

Сумма цифр предыдущего. Выпишите как можно более длинную цепочку из различных двузначных чисел так, чтобы каждое следующее число делилось на сумму цифр предыдущего.

4.

Больше коней! Расставьте на шахматной доске как можно больше шахматных коней так, чтобы каждый из них бил нечётное число коней.

5.

Делится на третье. Расставьте в строку как можно больше различных двузначных чисел так, чтобы в любой тройке подряд идущих сумма первых двух делилась на третье (как, например, в тройке 20, 70, 30).

6.

Делится на сумму своих цифр. Найдите как можно большее натуральное число, в записи которого не встречается цифра 0, и которое делится на сумму своих цифр.

7.

Панграмма наоборот. Составьте как можно более длинное предложение, состоящее из осмысленных слов, такое, чтобы буквы в нем не повторялись.

8.

Пилим по диагонали. Дана доска 4×4. Разрешается разрезать любую клетку по диагонали (можно сделать два разреза по обеим диагоналям). Сделайте наибольшее число разрезов так, чтобы доска не развалилась на части.

9.

Разность с суммой цифр. Какова максимальная возможная разность между трёхзначным числом и суммой его цифр?