МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 16 (5 марта 2016 года)

1.

На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкина, а на другой — до Палкина. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкина до Палкина?

2.

На вертикальную ось надели несколько колёс со спицами. Вид сверху изображён на рисунке слева. После этого колёса повернули. Новый вид сверху --- на рисунке справа. Какое наименьшее число колёс могло быть?

3.

На 44 деревьях, расположенных по окружности, сидели 44 весёлых чижа (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в разных направлениях. Докажите, что чижи не смогут собраться на одном дереве.

4.

Дана квадратная доска а) 4×4; б) 5×5. В одной из её клеток стоит плюс, в остальных стоят минусы. За один ход можно поменять все знаки в одной строке либо в одном столбце на противоположные. Докажите, что невозможно все знаки сделать плюсами.

5.

В пробирке находятся марсианские амёбы трёх типов A, B и C. Две амёбы разных типов могут слиться в одну амёбу третьего типа. После нескольких таких слияний в пробирке осталась одна амёба. Определите её тип, если изначально было 20 амёб типа A, 21 амёба типа B и 22 амёбы типа C?

6.

Двенадцать шашек расположены на чёрных полях первых трёх горизонталей доски 8×8 (как показано на рисунке). Они начинают бить друг друга по обычному правилу, перепрыгивая друг через друга по диагонали (можно назад), но обычных ходов (без взятий) не делают. Докажите, что как бы шашки ни били друг друга, на доске их останется не менее двух.

Дополнительные задачи

7.

Можно ли покрыть прямоугольник 5×7 уголками из трёх клеток ровно в несколько слоёв (чтобы каждая клетка была покрыта одним и тем же числом уголков)?

8.

Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге в одном направлении. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой они могут обгонять друг друга?

9.

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.