МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 2 (3 октября 2015 года)

1.

У крестьянина были коза, корова, кобыла, стог сена и сын. Сын подсчитал, что сена хватит козе и кобыле на месяц, кобыле и корове на ¹/₃ месяца, а корове и козе — на ³/₄ месяца. Отец похвалил мальчика, сказав, что он не зря учится в школе. Прав ли он?

2.

В Дремучем Лесу стоят Замок Горностаев и Замок Ласок. В Замке Горностаев денежными единицами являются фунтики, а в Замке Ласок — фантики. Горностаи готовы обменять один фунтик на десять фантиков, а ласки — один фантик на десять фунтиков. Предприимчивый путешественник мотается туда и обратно с целью безграничного обогащения. Изначально у него был только один фунтик. Может ли у него в какой-то момент оказаться поровну фантиков и фунтиков?

3.

По кругу стоят натуральные числа от 1 до 6 по порядку. Разрешается к любым трём подряд идущим числам прибавить по 1 или из любых трёх, стоящих через одно, вычесть 1. Можно ли с помощью нескольких таких операций сделать все числа равными?

4.

В урне лежат 35 белых и 35 чёрных шаров; у нас есть неограниченный запас чёрных шаров. Каждым ходом мы вынимаем из урны 2 шара. Если они разного цвета, мы возвращаем в урну белый шар, если одного — кладём туда чёрный. Понятно, что после 69 ходов в урне останется 1 шар. Можно ли однозначно определить, какого он цвета?

5.

а)

Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно 1 раз. Самопересечения ломаной не должны происходить в вершинах, звенья не должны иметь общих участков.

б)

Существует ли 7-звенная ломаная, также пересекающая каждое своё звено 1 раз?

в)

А существует ли 8-звенная ломаная с таким свойством?

6.

В клетках доски 8×8 выписаны числа от 1 до 64 (в произвольном порядке). Докажите, что найдутся такие две соседние (т. е. имеющие общую сторону) клетки, что числа, записанные в них, отличаются не меньше, чем на 5.

Дополнительные задачи

7.

Разложите гири с весами 1, 2, 3, ..., 555 на три кучи, равные по весу.

8.

Имеется много прямоугольников 2×1: обычных и с проведённой диагональю. Надо выбрать 18 прямоугольников и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали. Каким наименьшим количеством обычных прямоугольников (без диагонали) можно обойтись?

9.

Прямолинейный прут длиной 2 м разрезали на пять кусков, длиной не менее 17 см каждый. Докажите, что среди этих кусков найдутся три, из которых можно составить треугольник.