МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 10 (28 ноября 2015 года). Истории с узелками

1.

На человека со связанными руками надет свитер, вывернутый наизнанку. Сможет ли он надеть его правильно, не разрывая его и не развязывая рук?

Ответ Решение

Ответ. Да, сможет.

Решение. Для начала представьте, что от свитера остался только один рукав.

2.

На рисунке 1 изображен тривиальный узел (то есть не узел вовсе, а просто кольцо из верёвки). На рисунке 2 — узел, который называется «трилистник». А на рисунке 3 — узел «восьмёрка». Эти три узла разные: один нельзя превратить в другой. Для каждого из узлов, изображённых на остальных рисунках, определите, можно ли его превратить в какой-нибудь из этих трёх узлов.

Ответ

Ответ. а) 2; б) 2; в) 2; г) 1; д) 3; е) 2; ж) 3; з) 2; и) 2; к) 3; л) 1; м) 1; н) 2; о) 3; п) 1; р) 1.

3.

В карандаше сделали небольшой желобок около одного из концов, и взяли веревку, длина которой меньше удвоенного расстояния от желобка до другого конца карандаша. Затем верёвку привязали к карандашу, пропустив верёвку через петлицу пиджака, как показано на рисунке справа. Сможете ли вы, не развязывая веревку, не разрывая ее, не ломая карандаша, снять карандаш с пиджака?

Решение

Решение. Карандаш сжимать и гнуть нельзя, зато пиджак можно. Если обвести одну из половинок петли вокруг пиджака, петля снимется.

4.

Двух узников связали друг с другом, как это показано на рисунке. Смогут ли они расцепиться, не развязывая и не разрывая верёвку?

Решение

Решение. Возьмём верёвку одного из узников, протянем её изнутри сквозь петлю на одной из рук второго узника, обведём вокруг руки и вытащим с другой стороны руки.

5.

а)

Имеется картина, к которой двумя концами привязана длинная веревка. Требуется повесить её на два вбитых в стену гвоздя так, чтобы при вытаскивании из стены любого гвоздя картина и веревка падали.

б)

А если гвоздей не два, а три?

в)

А если гвоздей четыре?

Решение

Решение. Проведём из всех гвоздей лучи вверх. Назовём гвозди буквами. Положение верёвки закодируем словом, которое строится так: если верёвка пересекла луч по часовой стрелке, добавляем букву гвоздя, если верёвка пересекла луч против часовой стрелки, то букву гвоздя в минус первой степени. Для пункта а решение — aba ^{− 1}b ^{− 1}, для пункта б — caba ^{− 1}b ^{− 1}c ^{− 1}bab ^{− 1}a ^{− 1}, для пункта в — cdc ^{− 1}d ^{− 1}aba ^{− 1}b ^{− 1}dcd ^{− 1}c ^{− 1}bab ^{− 1}a ^{− 1}.

6.

Соедините три верёвочных кольца так, чтобы при развязывании любого из трёх два оставшихся расцеплялись.

Ответ

Ответ.

Дополнительные задачи

7.

В очень длинной доске проделали три дырочки и привязали к ней не очень длинную верёвку так, как показано на рисунке. При этом на веревку повесили кольцо. Можно ли переместить кольцо из положения 1 в положение 2, не ломая и не сгибая доску, не распиливая кольцо, не разрывая и не развязывая верёвку?

Решение

Решение. Перетащим кольцо вплотную к дырке. Вытянем узел через дырку. Переместим кольцо под двумя петлями. Вернём узел на место. Перетащим кольцо в правое положение.

8.

Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.

Решение

Решение. Покрасим сектора, на которые верёвка разбила плоскость в шахматном порядке. Если на подъезде к перекрёстку справа чёрное поле, то едем сверху, а если белое — то снизу.