МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6 (31 октября 2015 года)

1.

Сколькими способами можно прочитать слово «СЛОВО», двигаясь вправо или вниз?

С	Л	О	В	О
Л	О	В	О
О	В	О
В	О
О

2.

а)

В детском саду на каёмке каждой тарелки нарисовано по шесть кружочков шести различных цветов (набор цветов для всех тарелок один и тот же). В саду 125 детей. Можно ли всем детям раздать тарелки, раскрашенные по-разному?

б)

Сколько разных ожерелий можно составить из шести бусинок разных цветов.

3.

У Пети есть несколько монет достоинством 1, 2, 3, ... рублей — каждой по одной. Петя может составить из них 10 различных пирамидок высотой в три монетки (на большую монетку он кладёт меньшую). Может ли он купить себе пирожок ценой 15 рублей?

4.

Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 2015 прыжков оказаться на прежних местах?

5.

Десять друзей послали друг другу праздничные открытки, причём каждый послал пять открыток. Докажите, что найдутся двое, которые послали открытки друг другу.

6.

Докажите, что в произвольном выпуклом 2n-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

Дополнительные задачи

7.

В забеге от Воробьёвых гор до Красной площади приняли участие три спортсмена. Сначала стартовал Гриша, затем Саша, и последней Лена. После финиша выяснилось, что во время забега Гриша обгонял других 10 раз, Лена — 6 раз, Саша — 4 раза, причём все трое ни разу не оказывались в одной точке одновременно. В каком порядке финишировали спортсмены, если известно, что они пришли к финишу в разное время?

8.

Несколько кузнечиков играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 2015 прыжка оказаться на прежних местах?

9.

Вершины шестизвенной замкнутой ломаной лежат на окружности. Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь такая ломаная?