МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 4 класса

Занятие 16 (5 марта 2016 года). Принцессы и тигры

1.

В первом домике на одной из дверей написана правда, на другой — ложь.
«В обеих комнатах по тигру.»
«В этой комнате тигр.»

Решение

Решение. Если на 1 правда, то на 2 тем более правда. Значит, на 1 ложь, а на 2 правда. То есть в 1 комнате принцесса, во 2 тигр.

2.

Здесь снова на одной из двух дверей написана правда, а на другой — ложь.
«В этой комнате находится принцесса, а в другой комнате сидит тигр.»
«В одной из этих комнат находится принцесса; кроме того, в одной из этих комнат сидит тигр.»

Решение

Решение. Если на 1 правда, то на 2 тем более правда. Значит, на 1 ложь, а на 2 правда. Значит, в 1 тигр, во 2 принцесса.

3.

А в этом домике либо на обеих дверях написана святая истина, либо на обеих — подлая ложь.
«По крайней мере в одной из этих комнат находится принцесса.»
«Тигра здесь нет.»

Решение

Решение. Если обе надписи истинны, значит, во 2 комнате принцесса, а в 1 может быть как тигр, так и принцесса. Если обе ложны, значит, в обеих комнатах тигр. Получается, здесь три варианта: ТП, ПП, ТТ.

4.

Здесь условие хитрее:
Если в первой комнате принцесса, то на первой двери написана правда, а если там тигр — ложь. Если во второй комнате принцесса, наоборот, на второй двери написана ложь, а если тигр — правда.
«В обеих комнатах находятся принцессы.»
«В обеих комнатах находятся принцессы.»

Решение

Решение. Пусть в 1 комнате принцесса. Тогда там написана правда. Значит, во второй комнате принцесса. Значит, там написана ложь. Противоречие.
Пусть в 1 комнате тигр. Значит, там написана ложь. Значит, и на 2 комнате написана ложь, значит, там принцесса.
Значит, в 1 тигр, во 2 принцесса.

5.

В этом домике три комнаты. В одной комнате находится принцесса, а в двух других сидят тигры. Хотя бы два утверждения ложны.
I: «В этой комнате сидит тигр.»
II: «В этой комнате находится принцесса.»
III: «В комнате II сидит тигр.»

Решение

Решение. Заметим, что из 2 и 3 одно и только одно истинно. Значит, 1 точно ложно. Значит, там принцесса. Значит, во 2 тигр, и в 3 тигр (и табличка на 3 истинна).

6.

Здесь снова три комнаты. В одной комнате находится принцесса, а в двух других сидят тигры. Табличка на двери принцессы говорит правду, а из двух других хоть одна ошибочна.
I: «В комнате II тигр.»
II: «В этой комнате тигр.»
III: «В комнате I тигр.»

Решение

Решение. Пусть принцесса в 1 комнате. Тогда там написана правда. Значит, во 2 тигр, и там написана правда. Тогда надпись на 3 комнате ложна. Такое возможно.
Проверим, может ли принцесса быть во 2 комнате (это обязательно нужно проверить). Если это так, то там написана правда, значит, там тигр. Противоречие.
Теперь проверим, может ли принцесса быть в 3 комнате. Тогда там написана правда, в 1 и 2 тигр, и все надписи правдивы. Противоречие.
Получается, в 1 принцесса, в 2 и 3 тигры.

7.

7. В одной из комнат находится принцесса, в другой сидит тигр, а третья комната пуста. Надпись на двери, где находится принцесса, истинна, надпись на двери, за которой сидит тигр, ложна, а то, что написано на табличке у пустой комнаты, может оказаться как истинным, так и ложным.
I: «Эта комната пуста.»
II: «В комнате III сидит тигр.»
III: «Комната I пуста.»

Решение

Решение. Заметим, что 1 и 3 говорят одно и то же. Пусть они обе истинны. Тогда 1 комната пуста, а в 3 не может быть тигр, значит, там принцесса. Тогда во 2 тигр и всё хорошо.
Если и 1, и 3 ложны: тогда в 1 кто-то есть, раз там ложная надпись, значит, тигр. Значит, 3 пуста. Значит, на 2 тоже ложная надпись, противоречие.
Получается, в 1 пусто, во 2 тигр, в 3 принцесса.

Дополнительные задачи

8.

В этой задаче принц хочет найти принцессу. Здесь целых девять комнат. В одной из них находится принцесса, в некоторых тигры, а в остальных никого нет.
Утверждение у комнаты, где находится принцесса, истинно, таблички на дверях комнат с тиграми содержат ложные сведения, а на дверях пустых комнат может быть написано что угодно. В этой задаче достаточно определить, где принцесса.
I: «Принцесса находится в комнате с нечётным номером.»
II: «Эта комната пуста.»
III: «Или утверждение V истинно, или утверждение VII ложно.»
IV: «Утверждение I ложно.»
V: «Утверждение II или утверждение IV истинно.»
VI: «Утверждение III ложно.»
VII: «В комнате I принцессы нет.»
VIII: «В этой комнате тигр, а комната IX пуста.»
IX: «В этой комнате сидит тигр, а утверждение VI ложно.»
Поняв, что задача неразрешима, принц попросил короля сказать, пуста комната VIII или нет, и когда король ответил, принц догадался, где принцесса. Где?

Решение

Решение. Если бы король сообщил принцу, что комната VIII пуста, то у последнего не было бы никаких шансов обнаружить принцессу. Но так как принц все же сумел догадаться, где находится принцесса, то, стало быть, король сказал ему, что в комнате VIII кто-то есть. Это позволило принцу рассуждать следующим образом.
Принцесса не может находиться в комнате VIII, поскольку если бы это было так, то надпись на табличке VIII оказалась бы верной, - сама же эта надпись утверждает, что в комнате сидит тигр; значит, это сразу приводит нас к противоречию. Таким образом, принцессы в комнате VIII нет, но так как в ней все же кто-то есть (ведь она не пуста) - следовательно, в комнате VIII должен сидеть тигр. Поскольку там находится тигр, табличка на дверях этой комнаты лжет. Наконец, если пуста комната IX, то надпись на табличке VIII должна быть верной - значит, комната IX не может быть пустой.
Итак, в комнате IX также кто-то есть. Это не может быть принцесса, поскольку тогда табличка на дверях комнаты оказалась бы верной - отсюда сразу следова-ло бы, что в комнате сидит тигр. Значит, на табличке IX записано ложное утверждение. Далее, если бы невер-ной оказалась табличка VI, то табличка IX утверждала бы правду. На самом деле это не так, и, следовательно, то, что написано на табличке VI, - истинно.
Далее, поскольку табличка VI верна, это означает, что на табличке III написана ложь. Единственная возможность, чтобы фраза на табличке III оказалась ложной, соответствует случаю, когда табличка V ложна, а табличка VII истинна. Поскольку табличка V ложна, то ложными будут также утверждения на табличках II и IV. Кроме того, поскольку табличка V является ложной, табличка I должна быть истинной.
Теперь известно, на каких табличках написана правда, а на каких ложь, а именно: I - правда; II - ложь; III - ложь; IV - ложь; V  -  ложь; VI - правда; VII - правда; VIII - ложь; IX - ложь.
Ясно, что принцесса может находиться только в комнатах I, VI или VII, поскольку таблички на дверях остальных комнат лгут. Так как табличка I утверждает правду, то принцесса не может оказаться в комнате VI; наконец, поскольку истинна табличка VII, принцесса не может находиться и в комнате I. Следовательно, принцесса - в комнате VII.